Como a transformação z de Fisher ajuda na análise de correlação?

Ei! Como fornecedor da Fisher, vi em primeira mão como os produtos da Fisher e os conceitos estatísticos, como a transformação z da Fisher, desempenham papéis cruciais em diferentes campos. Hoje, vou me aprofundar em como a transformação z de Fisher ajuda na análise de correlação.

Compreendendo a análise de correlação

Primeiramente, vamos falar um pouco sobre análise de correlação. Correlação trata de medir a relação entre duas variáveis. Usamos um coeficiente de correlação, geralmente denotado como (r), para quantificar essa relação. O valor de (r) varia de -1 a +1. Um valor de +1 indica uma relação linear positiva perfeita, -1 significa uma relação linear negativa perfeita e 0 implica nenhuma relação linear entre as variáveis.

Porém, trabalhar com o coeficiente de correlação (r) tem suas limitações. Uma questão importante é que a distribuição amostral de (r) não é normal, especialmente quando o tamanho da amostra é pequeno. Essa não normalidade pode dificultar a realização de inferências estatísticas, como testes de hipóteses ou construção de intervalos de confiança.

Insira a transformação z de Fisher

É aqui que a transformação z de Fisher se torna útil. A fórmula de transformação é (z=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + r}{1 - r}\right)), onde (\ln) é o logaritmo natural.

A beleza dessa transformação é que ela converte a distribuição não normal de (r) em uma distribuição aproximadamente normal. Essa aproximação melhora à medida que o tamanho da amostra aumenta. Assim que tivermos uma variável normalmente distribuída, podemos usar as propriedades bem conhecidas da distribuição normal para análise estatística.

Teste de hipóteses

Digamos que queremos testar se o coeficiente de correlação na população ((\rho)) é igual a um determinado valor. Por exemplo, podemos querer testar se (\rho = 0), o que significaria que não há relação linear entre as duas variáveis ​​na população.

Sem a transformação z, testar essa hipótese pode ser uma verdadeira dor por causa da não normalidade de (r). Mas quando transformamos (r) em (z), podemos usar um teste z simples. O erro padrão de (z) é aproximadamente (\frac{1}{\sqrt{n - 3}}), onde (n) é o tamanho da amostra.

Calculamos a estatística z para nossa amostra (z_{amostra}) usando a fórmula de transformação. Então, podemos compará-lo com os valores críticos da distribuição normal padrão para determinar se devemos rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula.

Intervalos de confiança

Outro aspecto importante da análise de correlação é a construção de intervalos de confiança. Um intervalo de confiança nos dá um intervalo de valores dentro dos quais o verdadeiro coeficiente de correlação populacional (\rho) provavelmente estará.

Para construir um intervalo de confiança para (\rho), primeiro transformamos nosso coeficiente de correlação amostral (r) em (z). Em seguida, calculamos o intervalo de confiança para (z) usando a fórmula (z\pm z_{\alpha/2}\times\frac{1}{\sqrt{n - 3}}), onde (z_{\alpha/2}) é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado.

Depois de termos o intervalo de confiança para (z), transformamos os pontos finais de volta para a escala de coeficiente de correlação usando a transformação inversa (r=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}). Desta forma, obtemos um intervalo de confiança para (\rho) que leva em conta a não normalidade de (r) de forma mais precisa.

Exemplos práticos em nossos produtos Fisher

Agora, vamos ver como isso se relaciona com nossos produtos Fisher. Pegue oAtuador Fisher 655. Suponha que queiramos analisar a relação entre o sinal de entrada do atuador e o deslocamento de saída. Coletamos dados sobre essas duas variáveis ​​em vários testes.

Calculamos o coeficiente de correlação (r) entre o sinal de entrada e o deslocamento de saída. Mas se quisermos fazer inferências sobre a verdadeira correlação na população de todos os testes possíveis, usamos a transformação z de Fisher.

Digamos que descobrimos isso (r = 0,8) em nossa amostra. Nós o transformamos em (z=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + 0.8}{1 - 0.8}\right)\approx1.099). Se o tamanho da nossa amostra (n = 20), o erro padrão de (z) é (\frac{1}{\sqrt{20 - 3}}\approx0,243).

Se quisermos construir um intervalo de confiança de 95% para (z), o valor crítico (z_{\alpha/2}=1,96). O intervalo de confiança para (z) é (1,099\pm1,96\times0,243=(0,62,1,58)). Transformando esses pontos finais de volta na escala de correlação, obtemos o intervalo de confiança para (\rho).

Da mesma forma, para oControlador de válvula digital Dvc2000, podemos estar interessados ​​na correlação entre o ponto de ajuste e a posição real da válvula. A transformação z de Fisher nos ajuda a analisar essa relação com mais precisão e a fazer inferências confiáveis.

OTransdutor Fisher 846é outro produto onde a análise de correlação com transformação z pode ser útil. Poderíamos estudar a correlação entre a quantidade física de entrada (como a pressão) e o sinal elétrico de saída. Ao usar a transformação z de Fisher, podemos entender melhor o relacionamento e tomar decisões com base em evidências estatísticas.

Conclusão e apelo à ação

Concluindo, a transformação z de Fisher é uma ferramenta poderosa na análise de correlação. Supera o problema de não normalidade do coeficiente de correlação (r), permitindo realizar testes de hipóteses e construir intervalos de confiança com maior precisão.

Esteja você trabalhando com nossos produtos Fisher, como o Atuador Fisher 655, o Controlador de Válvula Digital Dvc2000 ou o Transdutor Fisher 846, compreender e aplicar a transformação z de Fisher pode levar a uma melhor análise de dados e tomada de decisões.

Se você estiver interessado em adquirir nossos produtos Fisher ou quiser conversar sobre como esses conceitos estatísticos podem ser aplicados em seus cenários de uso específicos, não hesite em entrar em contato. Estamos aqui para ajudá-lo a aproveitar ao máximo nossos produtos de alta qualidade e as mais recentes técnicas estatísticas.

Referências

• Fisher, RA (1915). Distribuição de frequência dos valores do coeficiente de correlação em amostras de uma população indefinidamente grande. Biometrika, 10(4), 507 - 521.
• Glass, GV e Hopkins, KD (1996). Métodos estatísticos em educação e psicologia. Allyn e Bacon.